[상식] 기본적인 것이지만 헷갈리는 산술평균과 가중평균 그리고 평균의 평균
1.산술평균 vs 가중평균
산술평균과 가중평균은 모두 데이터 집합의 중심 경향성을 나타내는 대표값 중 하나입니다. 그러나 이 두 가지 평균의 계산 방법과 의미는 약간 다릅니다.
1) 산술평균
데이터 집합의 모든 값을 더한 후 데이터의 개수로 나눈 값입니다. 이 방법은 모든 데이터가 동일한 중요도를 가지고 있다고 가정합니다.
예를 들어, 1, 2, 3, 4, 5의 산술평균은 (1+2+3+4+5)/5 = 3입니다.
2)가중평균
데이터 집합의 각 값에 가중치를 곱한 후 그 합을 가중치의 총합으로 나눈 값입니다. 이 방법은 각 데이터의 중요도가 다른 경우에 유용합니다.
예를 들어, 학생들의 성적을 나타내는 경우, 과목별 학점을 가중치로 사용하여 성적의 가중평균을 계산할 수 있습니다.
두 가지 평균의 차이점은 가중치의 유무입니다. 가중치가 없는 산술평균은 모든 데이터가 동일한 중요도를 가지고 있다고 가정하는 반면, 가중치가 있는 가중평균은 각 데이터의 중요도를 고려합니다. 따라서 가중치가 있는 경우에는 가중평균이 더 적합한 대표값이 될 수 있습니다.
2)-1 가중평균의 예시
가중평균은 각 데이터의 중요도를 고려하여 계산하기 때문에 다양한 분야에서 사용됩니다. 가중평균의 예시 중 하나는 성적 평균을 계산하는 것입니다.
예를 들어, 어떤 학생이 영어 시험에서 80점, 수학 시험에서 90점을 받았다고 가정해봅시다. 이 경우, 영어와 수학의 중요도가 동일하지 않을 수 있습니다. 만약 영어가 중요도가 3이고 수학이 중요도가 7이라면, 이 학생의 가중평균 성적은 다음과 같이 계산됩니다.
(80 x 3) + (90 x 7) / (3 + 7) = 86
따라서, 이 학생의 가중평균 성적은 86점이 됩니다. 이처럼 가중평균은 각 데이터의 중요도를 고려하여 평균을 계산할 수 있기 때문에 다양한 분야에서 활용되고 있습니다.
2. 평균의 평균과 총합계의 평균은 항상 같을까?
평균의 평균과 총합계의 평균이 항상 같지는 않습니다. 이 둘은 계산 방법과 의미가 다르기 때문입니다.
평균의 평균은 여러 그룹의 각각의 평균값을 다시 평균 내어 구한 값입니다. 즉, 각 그룹의 크기가 같을 때, 각 그룹의 평균을 모두 더한 후, 그룹의 수로 나눈 값입니다.
반면, 총합계의 평균은 여러 값들의 합을 그 값의 개수로 나눈 값입니다. 즉, 모든 값을 합한 후 값의 개수로 나눈 값입니다.
이 두 값이 같다면, 모든 그룹의 크기가 동일하고, 각 그룹의 평균값이 모두 동일해야 합니다. 예를 들어, 2개의 그룹 A, B가 있고, A의 평균이 2, B의 평균이 4일 때, A와 B를 묶어서 평균을 내면 (2+4)/2=3이 되며, 모든 값들의 총합은 6+8=14이므로 14/4=3.5가 됩니다. 따라서, 이 경우에는 평균의 평균과 총합계의 평균이 같습니다.
그러나 그룹의 크기나 각 그룹의 평균값이 다를 경우, 평균의 평균과 총합계의 평균은 서로 다른 값이 될 수 있습니다.
1) 평균의 평균과 총합계 평균이 서로 다른 사례(예시)
서로 다른 값을 예시로 들어보면서 평균의 평균과 총합계의 평균이 다르게 나오는 경우를 살펴보겠습니다.
예를 들어, 3개의 그룹 A, B, C가 있고, 각 그룹의 크기와 평균값이 다음과 같다고 가정해봅시다.
그룹 A: 크기 2, 평균값 3
그룹 B: 크기 3, 평균값 4
그룹 C: 크기 4, 평균값 5
이 경우, 각 그룹의 평균값을 모두 더한 후 그룹의 수로 나눈 평균의 평균은 다음과 같이 계산됩니다.
[(2 x 3) + (3 x 4) + (4 x 5)] / (2 + 3 + 4) = 4.1
반면, 모든 값들의 총합은 다음과 같이 계산됩니다.
(2 x 3) + (3 x 4) + (4 x 5) = 34
모든 값의 개수는 2 + 3 + 4 = 9이므로, 총합계의 평균은 다음과 같이 계산됩니다.
34 / 9 = 3.78 (소수점 이하 반올림)
따라서, 이 경우에는 평균의 평균과 총합계의 평균이 서로 다른 값이 나오게 됩니다.
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